Đạo hàm là gì? Khái niệm, công thức và bài tập

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm của một hàm số tại một điểm cho biết tốc độ biến thiên của hàm số tại điểm đó. Nó được biểu diễn bằng hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó trên đồ thị hàm số.

Ví dụ:

• Vận tốc của một vật đang chuyển động tại một thời điểm cụ thể là đạo hàm của quãng đường theo thời điểm.
• Tỷ lệ tăng trưởng của một số lượng tại một thời điểm cụ thể là đạo hàm của số lượng theo thời điểm.

Công thức tính đạo hàm

Công thức tính đạo hàm cơ bản:

• Hàm số lũy thừa: (x^n)’ = nx^(n-1)
• Hàm số mũ: (e^x)’ = e^x
• Hàm số logarit: (ln(x))’ = 1/x
• Hàm số sin: (sin(x))’ = cos(x)
• Hàm số cos: (cos(x))’ = -sin(x)

Công thức đạo hàm của các phép toán:

• Tổng: (u + v)’ = u’ + v’
• Hiệu: (u – v)’ = u’ – v’
• Tích: (u.v)’ = u’v + uv’
• Thương: (u/v)’ = (u’v – uv’)/v^2

Bảng đạo hàm:

Bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa hoặc trên internet.

Bài tập đạo hàm

Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm số y = x^3 + 2x^2 – x + 1.

Giải:

y’ = 3x^2 + 4x – 1

Bài tập 2: Cho hàm số y = sin(x) + cos(x). Tìm điểm trên đồ thị hàm số mà tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x.

Giải:

y’ = cos(x) – sin(x)

Ta cần tìm điểm x sao cho y'(x) = 2.

cos(x) – sin(x) = 2

…

Bài tập 3: Cho hàm số y = f(x). Biết rằng f(1) = 2 và f'(x) = x^2 + 1. Tính f(2).

Giải:

Áp dụng định lý Newton-Leibniz:

f(2) – f(1) = ∫1^2 (x^2 + 1)dx

…

f(2) = 5

Lưu ý

• Đạo hàm là một chủ đề quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.
• Việc nắm vững các khái niệm và công thức đạo hàm là cần thiết để giải các bài tập toán học và thực tế.
• Có nhiều tài liệu tham khảo available online and offline để học tập về đạo hàm.