Nội Dung Bài Viết
Hằng đẳng thức là gì?
Đẳng thức là cặp biểu thức được nối liền với nhau bởi dấu bằng =.
Hằng đẳng thức là một loại đẳng thức đặc biệt, luôn đúng với mọi giá trị của các biến trong biểu thức. Theo định nghĩa từ Wikipedia, hằng đẳng thức là một loạt các đẳng thức có liên quan, kết hợp lại thành một quy luật toán học bất biến.
Ví dụ:
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 là một hằng đẳng thức vì:
- Hai biểu thức (a+b)2(a+b)^2 và a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2 được nối với nhau bởi dấu
=. - Với mọi giá trị của aa và bb, đẳng thức luôn đúng.
7 hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng
Dưới đây là công thức, giải thích và ví dụ về 7 hằng đẳng thức phổ biến:
1. Bình phương của một tổng
- Công thức: (A+B)2=A2+2AB+B2(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2
- Giải thích: Bình phương của một tổng bằng tổng của:
- Bình phương số thứ nhất.
- Hai lần tích số thứ nhất nhân số thứ hai.
- Bình phương số thứ hai.
- Ví dụ:
x2+2x+1=(x+1)2x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.
2. Bình phương của một hiệu
- Công thức: (A−B)2=A2−2AB+B2(A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2
- Giải thích: Tương tự bình phương của một tổng, nhưng thay dấu
+giữa các hạng tử bằng dấu-. - Ví dụ:
25a2+4b2−20ab=(5a−2b)225a^2 + 4b^2 – 20ab = (5a – 2b)^2.
3. Hiệu hai bình phương
- Công thức: A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)
- Giải thích: Hiệu hai bình phương bằng tích của tổng và hiệu hai số đó.
- Ví dụ:
4×2−9=(2x−3)(2x+3)4x^2 – 9 = (2x – 3)(2x + 3).
4. Lập phương của một tổng
- Công thức: (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3
- Giải thích: Tổng của:
- Lập phương số thứ nhất.
- Ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai.
- Ba lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai.
- Lập phương số thứ hai.
- Ví dụ:
(2x+y)3=8×3+12x2y+6xy2+y3(2x + y)^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3.
5. Lập phương của một hiệu
- Công thức: (A−B)3=A3−3A2B+3AB2−B3(A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3
- Giải thích: Tương tự lập phương của một tổng, nhưng thay dấu
+bằng-cho các hạng tử. - Ví dụ:
(x−y)3=x3−3x2y+3xy2−y3(x – y)^3 = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3.
6. Tổng hai lập phương
- Công thức: A3+B3=(A+B)(A2−AB+B2)A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)
- Giải thích: Tổng hai lập phương bằng tổng hai số đó nhân với biểu thức “thiếu” để tạo thành bình phương tổng.
- Ví dụ:
x3+64=(x+4)(x2−4x+16)x^3 + 64 = (x + 4)(x^2 – 4x + 16).
7. Hiệu hai lập phương
- Công thức: A3−B3=(A−B)(A2+AB+B2)A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)
- Giải thích: Hiệu hai lập phương bằng hiệu hai số đó nhân với biểu thức “thiếu” để tạo thành bình phương hiệu.
- Ví dụ:
8×3−y3=(2x−y)(4×2+2xy+y2)8x^3 – y^3 = (2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2).
Ứng dụng của hằng đẳng thức trong toán học
- Phân tích đa thức thành nhân tử:
Ví dụ: x2−4x+4=(x−2)2x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2. - Tính giá trị biểu thức:
Ví dụ: Tại x=1x = 1, tính x2+2x+1x^2 + 2x + 1:
=(x+1)2=(1+1)2=4= (x + 1)^2 = (1 + 1)^2 = 4. - Giải hệ phương trình đối xứng:
Sử dụng các dạng hằng đẳng thức để đưa về dạng dễ giải hơn. - Chứng minh bất đẳng thức:
Sử dụng các công thức để rút gọn và so sánh biểu thức.
Một số dạng bài toán thường gặp
1. Tính giá trị biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của A=x2−2x+5A = x^2 – 2x + 5:
A=(x−1)2+4 ⟹ GTNN của A laˋ 4, tại x=1.A = (x – 1)^2 + 4 \implies \text{GTNN của } A \text{ là } 4, \text{ tại } x = 1.
2. Phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ: Phân tích x2−y2x^2 – y^2 thành nhân tử:
x2−y2=(x−y)(x+y).x^2 – y^2 = (x – y)(x + y).
3. Chứng minh đẳng thức
Ví dụ: Chứng minh (a+b)3−(a−b)3=2b(3a2+b2)(a+b)^3 – (a-b)^3 = 2b(3a^2 + b^2):
VT=(a+b)3−(a−b)3=2b(3a2+b2)=VP.VT = (a+b)^3 – (a-b)^3 = 2b(3a^2 + b^2) = VP.
Kết luận
Hằng đẳng thức là công cụ quan trọng trong toán học, hỗ trợ giải quyết nhanh chóng và chính xác nhiều dạng bài tập. Việc hiểu và vận dụng thành thạo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập và giải toán.